Problem Med En Funktion

↗ till inlägget

Japp, men det intressanta är att när man gör detta så kommer även det sista villkoret "automatiskt" att uppfyllas precis som på min bild.

Jag försökte lösa det med cirkelns ekvation men det gick inte riktigt ihop eftersom man har olika x-värden och det behövdes fler samband för att få ut alla okända. Det var väl den där hjälpfunktionen jag saknade mer eller mindre. Haha jag testade så många sätt. XD

↗ till inlägget

Är det fest här eller?

Resonemanget kan ha några luckor, men jag tror att de flesta går att fylla igen:

Fixera en punkt (a,b) på grafen till f (det gäller att b=f(a) men jag skriver b så länge för att notationen blir bättre). Tangentens lutning ges av f'(a) och därför ges normalens lutning av -1/f'(a).

Ekvationen för normalen blir då y = b - (x-a)/f'(a) (klicka här och kolla under "enpunktsform").

Vi vill nu räkna ut hur mycket höger/vänster vi ska ta oss längs linjen för att komma till en punkt ovanför med avstånd k till (a,b). För att göra detta antar vi att det gäller att punkten (a+r, b') ligger ovanför (a,b) och på linjen på ett avstånd k från (a,b). Notera att r>0 då f'(a)<0 och r<0 då f'(a)>0 (med andra ord, om grafen lutar negativt i a måste vi gå åt höger längs normalen för att komma uppåt och tvärtom om grafen lutar uppåt).

Genom att rita en rätvinklig triangel (eller eventuellt två stycken, ett i varje fall) och använda pythagoras sats kommer man fram till att: r^2 + (r/f'(a))^2 = k^2 (där -r/f'(a) representerar hur långt uppåt vi kommer eftersom normalen lutar -1/f'(a) ).

Detta ger oss att r = +/- k/Sqrt(1+(1/f'(a))^2) = +/- k|f'(a)| / Sqrt(f'(a)^2+1) efter förlängning med |f'(a)|. Här vet vi att tecknet +/- kommer måste väljas så att r och f'(a) får motsatta tecken. Med andra ord + om f'(a)<0 och - om f'(a)>0. Vi har alltså fått:

r = -kf'(a)/Sqrt(f'(a)^2+1)

Detta betyder att punkten (a+r, b') = (a+r, b -(a+r-a)/f'(a) ) = (a+r, b-r/f'(a) ) = (a-kf'(a)/Sqrt(f'(a)^2+1), b+k/Sqrt(f'(a)^2+1)) är en punkt på grafen till g(x) för varje par av (a,b) som ligger på f(x).

Med andra ord, för alla x (som f är definierad på) gäller att:

(x-kf'(x)/Sqrt(f'(x)^2+1), f(x)+k/Sqrt(f'(x)^2+1)) ligger på g(x). Sätt nu h(x) lika med det som står i första-koordinatsplatsen och s(x) lika med det som står i andra koordinatplatsen. Detta innebär att g(h(x)) = s(x).

Anta nu att vi vill beräkna g(z) för något z. Om vi kan hitta ett x sådant att h(x) = z så kommer automatisk g(z) = g(h(x)) = s(x) = f(x)+k/Sqrt(f'(x)^2+1). Med andra ord, om h* är den inversa funktionen till h så kommer x=h*(z) och vi kommer exakt få:

g(z) = f(h*(z)) + k/Sqrt(f'(h*(z))^2+1)

Alltså, det jag skrev i ett tidigare inlägg.

Säg till om något är oklart eller om jag gjort ett fel någonstans.

Notera att om h inte har en invers så betyder att vissa punkter på grafen till g kommer bestämmas av flera punkter på grafen till f. Om man tänker på det sista villkoret (att derivatorna ska vara lika) så innebär detta att vi kommer få "loops" och då kommer lösningen inte längre vara en funktion utan "bara" en kurva.

En intressant grej jag vill påpeka här är att det något oväntat egentigen är väldigt lite analys som pågår. Det mesta är manipulationer av ekvationen för en linje y=kx+m, vilket man lär sig i Ma B.

Jag "skummade" inlägget och det ser najs ut, men ska sätta mig lite senare och skriva om alla uttryck så att det ser ut som det ska, är väldigt svårt att hänga med när matematiska uttryck är skrivna som "text". Det verkar som om du har gjort nästan exakt som jag. fast haft en något snyggare notation som inte förvillat lika mycket. Dessutom trodde jag att svaret skulle komma tidigare så jag lät mig köra fast för tidigt.

↗ till inlägget

Notera att om h inte har en invers så betyder att vissa punkter på grafen till g kommer bestämmas av flera punkter på grafen till f. Om man tänker på det sista villkoret (att derivatorna ska vara lika) så innebär detta att vi kommer få "loops" och då kommer lösningen inte längre vara en funktion utan "bara" en kurva.

Detta är det enda jag hittills har lite svårt att hänga med. Förutsatt att jag fortfarande vet vad en invers funktion innebär. x² har inte en invers funktion eller hur för den är inte injektiv, alltså har samma y-värde för olika x-värden? Och utifrån ditt resonemang går det givetvis inte att få fram ett g(x) eftersom du förlitar dig på h^*(x), men det känns ändå som om det vore möjligt att hitta ett g(x) även för ej injektiva funktioner, jag hänger inte med på hur det blir "loops".

EDIT: Kom på nu att jag återigen tänkte fel och det är h(x) som måste vara injektiv och inte f(x). >.< Ok får fundera på en funktion f(x) som gör att h(x) saknar invers.

Jag har nu gjort ett program i mathematica som jag tror kan lösa den för alla trevliga funktioner som den har en lösning för och märkt att problemet är väldigt intressant. T.ex. verkar det som att om f(x) = x^2 så har problemet en snygg lösning då k är mindre än eller lika med 1/2 medan lösningen förstörs en bit i mitten om k>1/2. Detta stämmer med vad man kan vänta sig eftersom de två olika "halvparablarna" på de olika sidorna av symmetrilinjen kommer att interferera med varandra.

Jag kanske ska berätta vad jag tänkte ha funktionen till också. :D

Jag satt och funderade över konceptet flygplan, och fascinerades av deras lyftkraft. Vingarna är inte så stora och ändå kan de lyfta ett jävligt tungt flygplan. Fåglar t.ex. är ju oerhört lätta och har stora vingar proportionellt mot kroppen. Så jag har hört hur flygplan lyfter, men har aldrig fått någon närmare förklaring. Flygplan kan ju flyga genom att det skapas ett undertryck på ovansidan av vingen vilket skapar en nettokraft uppåt som trycker planet uppåt. Jag ville testa om jag kunde ta fram en formel för att ungefär räkna ut hur stor den kraften är.

Jag insåg rätt fort att hastigheten måste vara en faktor och sambandet jag kom fram till för att beräkna trycket på ovansidan av vingen var F = CAv²ρ, där A är vingens area, v är hastigheten, ρ är densiteten och C är en konstant som betecknar (enkelt) densitet på ovansidan av vingen genom densiteten på undersidan av vingen. Ett värde som borde bli mindre än 1.

Jag insåg att eftersom luft räknas som en komprimerbar fluid och det finns många faktorer så som turbulens etc så har jag inte i närheten av de matematiska kunskaperna för att beräkna densiteten på ovansidan av vingen. Så jag kom på en enklare modell (ja, så jävla enkel var den ju inte XD).

Jag tänkte mig att vingens tvärsnittsform kunde beskrivas av funktionen f(x), som är definierad för alla x där f(x) > 0, och att f(x) har endast två rötter. Sen tänkte jag mig att det block av luft som borde passerat genom det utrymme som f(x) upptog istället skulle "dras ut" kring utsidan av f(x) och på så sätt få en lägre densitet. Så om f(x) är definierat från x₁ till x₂ och har ett globalt maximum för något värde d där f(d) = k, så skulle man kunna beräkna den procentuella denisitetsminskningen när detta block med "volymen" k(x₂-x₁) spreds ut längs f(x).

Om man lätt det utspridda blocket beskrivas av funktionen g(x) så skulle man få ett värde på c som beskrevs av

C = (Integral_x₁^x₂ (g(x)-f(x)) dx/(k(x₂-x₁))

Fast integrationsgränserna stämmer inte för som jag sa i mitt första inlägg så är definitionsmängden lite större för g(x) än f(x), men har inte riktigt koll på hur man ska integrera då, kanske kan lösa det om jag sitter och slår i min calculus. Sen blir det ju inte bättre av att f(x) egentligen är f(x,z) i och med att en flygplansvinge inte är identisk från kabinen till vingspetsen. Sen vet jag inte ens om min formel för kraften är riktig men det var antaganden jag gjorde med tanke på vilka enheter jag behöver för att få ihop det och vilka storheter jag vet måste spela roll.

EDIT: Jag har nu läst igenom #22 att jag förstår det så bra att jag vet vad som görs och varför det görs, men inte helt säkert att jag på egen hand skulle kunna återupprepa det utan att kolla igen. Men ja jag hade rätt i att det låg i gränslandet för vad jag kan, även om det "bara är att manipulera räta linjer" vilket jag håller med om, så är det rätt avancerat och jag tänkte inte på hjälpfunktioner etc som i min värld bara är krångliga grejjer som jag kan räkna med om jag absolut måste. Fast ja hjälpfunktionen är ju inget måste visserligen det är ju bara för att man ska slippa skriva ut en massa krångligt hela tiden.

Ja, okej. Jag är ju inte superskarp på fysik så jag kan inte uttala mig om din metod ger en bra approximation eller inte men jag kanske kan säga vad jag tycker om delar och kanske skapa en diskussion.

Däremot är jag väldigt imponerad av hur intressant det matematiska problemet blir. Om man kollar igenom uträkningarna märker man snart att det finns ett sätt att mycket enklare uttrycka kurvan som uppstår utan att kräva inversen till h(x). Detta innebär att man får fram en kurva med de eftersökta egenskaperna men att denna kurva inte nödvändigtvis definierar en funktion.

Denna kurva tar formen av en parameterframställning:

x = t-kf'(t)/Sqrt(f'(t)^2 + 1) = h(t)

y = f(t) + k/Sqrt(f'(t)^2 + 1) = s(t)

(om man tittar på detta lite ser man att det blir samma som innan eftersom y = s(t) = s(h*(t)) )

Denna framställning gör det också enkelt att plotta i wolfram alpha. Exempelvis får man för k=2 och f(x) = x^2 följande:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=param...4t%5E2+%2B+1%29

Angående det ursprungliga problemet så kan du kanske approximera volym/areakvoten med längdkvoten? Alltså vingens längd genom "raka" vägen.