Ensamma Bråk

Ja det är det jag menar, men det ska nog vara n(n+1). Om detta alltid är sant så visar ju detta att det alltid finns ett annat sätt att representera det ensamma bråket (förutom då n=1 eftersom n(n+1) blir samma sak som n+1 i det fallet).

En annan grej att notera är att tal med många delare som t.ex. 12 och 60 har många olika sätt att skrivas på.

Ah jo givetvis, 1/(n(n+1)), jag hoppade över 1/1 i min serie. Det är ju sant att det alltid finns två sätt att representera ett ensamt bråk på eftersom både n(n+1) och n+1 är naturliga tal om n är ett naturligt tal.

1/a = 1/b + 1/c
1/a = (c+b)/(cb)
1/a = 1/((cb)/(c+b)
a = (cb)/(c+b)
 
Vet inte vart jag vill komma riktigt. Men jag tror jag kom på ett sätt att göra min genereringar betydligt snabbare (Från n²/2 iterationer till n) ifall ni vill ha mer data.

-------------------

Upptäckte detta

1/479 kan fås av 1/480 + 1/229920.
479² + 479= 229920.
 
1/89 kan fås av 1/89 = 1/90 + 1/8010.
89² + 89 = 8010.

Detta verkar stämma för allt, inte bara primtal. Och när jag scrollar upp ser det ut som det är ni ni precis kommit fram till.

Japp, frågan som kvarstår är vad reglerna för alla de andra talen är och hur den övergripande regeln är samt hur man tar reda på exakt hur många sätt ett givet bråk går att skriva på.

Jag observerade 1/2, 1/4, 1/8, 1/16 och 1/32 och såg mönstret: 1/a = 1/(1.5a) + 1/(3a)

Detta gäller troligen alla 1/2^n

Även 1/10 = 1/15 + 1/30 funkar ju så det fetmarkerade gäller kanske om 1.5a är ett jämt tal.

1/a = 1/(1.5a) + 1/(3a) är sant för alla a, så ja.

a/b+a/c=1 verkar stämma för alla mina stickprov.

↗ till inlägget

 

1/a = 1/(1.5a) + 1/(3a) är sant för alla a, så ja.

 

 

a/b+a/c=1 verkar stämma för alla mina stickprov.

det kanske stämmer för alla a men då är de inte nödvändigtvis ensamma bråk. Givetvis finns de mängder (oändligt många faktiskt) av sätt att dela upp ett bråk i, men vi pysslar ju bara med de enskilda bråken.

Din andra slutsats är självklar eftersom det bara är en omskrivning av det vi har konstaterat från början. Dividera bägge sidor med a så ser du det.

1/a = 1/(2a) + 1/(2a)

1/a = 1/(1.5a) + 1/(3a)

1/a = 1/(1.25a) + 1/(5a)

1/a = 1/(1.1a) + 1/(11a)

Respektive exempel:

1/20 = 1/40 + 1/40

1/20 = 1/30 + 1/60

1/20 = 1/25 + 1/100

1/20 = 1/22 + 1/220

Sätt in "1/(1.1) + 1/(x) = 1" i wolfram för att få x=11 vilket innebär min fjärde generella formel.

"1/(y) + 1/(x) = 1"

Alternate form assuming x and y are positive:

x*y = x+y

Och 5*1.25 = 5+1.25. Jag bara flummar runt nu så får ni se om ni kommer på något utifrån detta.

Om 5a samt 1.25a är heltal så går det att bygga ett ensamt bråk utav de två.

Det är bra men det hjälper inte så jättemycket för att hitta just ensamma bråk. Liksom man vill ju veta mde en gång om det är "ok" att använda 1/(1.25a) + 1/(5a) för t.ex. 1/23 utan att behöva räkna och se om det blir två ensamma bråk eller inte.

Jag flummar på främst för att så frön som ni andra kan spå vidare på. Och jag har därigenom redan kommit på ett sätt att göra mitt program för simuleringar över 1000 gånger snabbare.

Om man bortser ifrån att b och c måste vara heltal så tror jag att det snabbt utifrån mitt flum går att hitta en generell formel för alla summeringar av två bråk till ett (ensamt) bråk.

Det finns en "magisk" algebraisk omskrivning som gör det hela lättare :D

b=x*a

c=y*a

1/a = 1/(x*a) + 1/(y*a)

x*y = x+y

y=x/(x-1)

1/a = 1/(x*a) + 1/(a*x/(x-1))

När x*a och a*x/(x-1) är heltal så funkar det.

Utifrån a/b+a/c=1 så

a/(xa)+a/(a*x/(x-1)) = 1

om x och a är heltal så är alltid ax det. Du är helt klart nått på spåren nu WASD.

Hmm intressant, men hur kan man ta reda på när ax och ax/(x-1) är heltal? Faktum är att x/(x-1) endast är heltal i det ointressanta fallet x=2. Generellt sätt är x och x-1 relativt prima (de har inga gemensamma delare).

Det betyder att vi istället för att ställa frågan

"när är ax och ax/(x-1) heltal?"

kan fråga det ekvivalenta

"när är ax och a/(x-1) heltal?" (x:et faller bort i täljaren av det andra uttrycket eftersom det ändå aldrig kommer ha en gemensam delare med nämnaren). Det är inte samma algebraiska manipulation som jag hade i tanke, men vad säger att det inte funkar?

om x = (a+1)/n så är a/(x-1) ett heltal right? Fast det kanske är att gå runt problemet. XD

----

Sluta hjälp oss bara för att vi är tröga! :)

Ja jag tyckte detta var spännande men så sitter Mezox med alla svaren gömda verkar det som... Precis som det här när jag kom på att använda binära talsystemet för de som skulle dricka drickor.

Redigerar bort det i hopp om att ni glömmer vad som stod då :D

↗ till inlägget

Redigerar bort det i hopp om att ni glömmer vad som stod då

Ja jag ska nu supa mig redlös och banka huvudet mot en väg i en halvtimma så att jag säkert förtränger det. Fy på dig Mezox och din obotliga, gränslösa intelligens! :P

Jag ska ta tag i detta så fort jag är klar med mina omtentor på fre.

Jag minns minsann exakt vad inlägget var!