Superellipsen. Figuren visar en vanlig ellips. Den kan ritas med ett snöre av längden 2a som är fäst i två punkter, brännpunkterna.
http://i46.tinypic.com/dbr5uh.png
Ellipsens ekvation är
http://i46.tinypic.com/nlv09s.gif
Där a är storaxeln och b är lillaxeln.
Ellipsen area A = pi*ab
För omkretsen finns ingen enkel formel
a) Ta reda på hur man kommer fram till ellipsens ekvation.
b) Välj några olika värden på a och b och beräkna sedan ett närmevärde på ellipsens omkrets (se faktarutan Båglängder).
c) den indiske matematikern Ramanujan gav 1914 följande approximativ beräkning av ellipsens omkrets.
http://upload.wikimedia.org/math/f/6/4/f642e8f5dcd9c3c9be49ef2d4f88876e.png
Undersök hur bra den är. Kan du själv hitta en enklare formel?
d) Om Exponenterna i ellipsens ekvation är större än 2 så får vi en sk superellips. Piet Hein konstruerade trafikplatsen vid Sergels torg i Stockholm med följande ekvation som modell:
http://i49.tinypic.com/mbsvo0.gif
Beräkna area och omkrets för denna superellips.
e) Undersök hur utseendet av en superellips ändras då exponenten n ökar. Vilket värde bör omkretsen närma sig då n växer obegränsat?
-------------------Båglängder
Med en integral kan du lätt beräkna att arean under sinusbågen är 2 areaenheter.
http://i49.tinypic.com/1zvbnyo.png
men hur lång är sinusbågen?
Härled en integral för bågens längd. Pythagoras sats ger längden av den lilla bågen
så här mycket fattar jag:
a) Har fattat den helt ok, man bevisar den med trigonometriska ettan.
b) Fattar att jag ska använda båglängder, men jag lyckas inte får fram det f(x) som jag ska stoppa in i formeln.
c) Inte försökt på än, men inte så svår, har också två egna idéer om en approximativ omkrets. hur ska jag se hur bra den är om jag inte har en exakt formel för omkretsen!?
d) Eftersom jag inte har klarat b) och denna är liknande så har jag ingen aning om hur jag löser denna.
e) Jag antar att den blir mer och mer fyrkantig och att omkretsen går mot 4(a+b), men får gärna hjälp med att visa det.
