Matte - Derivata

[Saiyan]

Är det nån vänlig själ som kan lösa den åt mig / hjälpa mig förstå den här matte c uppgiften så jag kan lösa den själv? Och om jag inte förstår första gången kanske ni kan förklara lite mer om det är något oklart. Kan inte ge nåt i gengäld mer än mina fuskamynt på mitt andra account.

vore hemskt tacksam

 

Ange med hjälp av derivatan eventuella maximi / minimi och terasspunkter till funktionen f(x) = 2x^3+3x^2+1

[WASD]

http://www.wolframalpha.com/input/?i=2x%5E3%2B3x%5E2%2B1

[Saiyan]

Tack för länken men behöver lite mer förklaring i ord så man vet mer i detalj. Ska antagligen ta uppgiften halft muntligt

[WASD]

Finns massa andra som svarat på det redan. Känner inte för att behöva tänka till efter hur det nu gick och skriva ner det som jag lärde mig för länge sen.

 

https://www.google.se/search?q=derivata+hitta+max+min

[Saiyan]

Kanske några andra som orkar förklara i detalj? Har kollat på dom sidorna men inget riktigt hjälper.. ganska halvdana förklaringar. Funkar kanske för dom som förstår matte bra..

tack igen

[Dave37]

Vet du hur man deriverar f(x) till att börja med?

 

Vet du hur området runt en max-/min-/terasspunkt ser ut grafiskt?

Redigerat 31 Maj 2012 av Dave37

[Saiyan]

2x^3+3x^2+1

Vet du hur man deriverar f(x) till att börja med? 6x^2+6

 

Vet du hur området runt en max-/min-/terasspunkt ser ut grafiskt?

Tror inte det i alla fall kan du förklara?

Redigerat 31 Maj 2012 av Saiyan

[Dave37]

En Max-punkt är en punkt som är den högsta (har det största värdet) inom ett område nära punkten i fråga, det ser ut som en bergtopp mer eller mindre och maxpunkten är "bergets" topp. En minpunkt är motsatsen till en maxpunkt är punkten som är botten på en "dal" i kurvan är en minpunkt. En terasspunkt är en punkt där kurvan för kort stund planar ut för att sedan fortsätta åt samma håll som innan. Det ser ut lite som ett trappsteg.

 

Om du håller din hand rak och följer kurvan f(x) som någon slags pulkaåkare så kommer din hand att ha olika lutningar på olika ställen i kruvan. Det är det som är derivatan i de olika punkterna, lutningen på kurvan. I max- min- och terasspunkterna är din hand vågrätt, och lutningen och derivatan är därför noll. Om du hittar alla punkter där derivatan är noll så hittar du också dessa speciella punkter som brukas kallas "extrempunkter".

 

alltså, det du ska lösa är ekvationen 0 = f'(x).

Redigerat 31 Maj 2012 av Dave37

[Vitdom]

Du ska alltså ange, med hjälp av derivatan, eventuella maximi-, minimi- och terrasspunkter till funktionen

f(x) = 2x³+3x²+1

 

Maximipunkt:

1. Derivatan i punkten är 0
2. Derivatan växlar tecken från + till -

Minimipunkt:

1. Derivatan i punkten är 0
2. Derivatan växlar tecken från - till +

Terrasspunkt:

1. Derivatan i punkten är 0
2. Derivatan växlar inte tecken mellan + & -
3. (Alla de underliggande derivatorna är inte 0) - ÖVERKURS

Låt oss då lösa problemet. Först deriverar vi funktionen term för term.

 

f(x) = 2x³ + 3x² + 1

f'(x) = 3*2x^3-1 + 2*3x^2-1 + 0*1 =

6x² + 6x

Vi har nu framställt derivatan, betecknad "f-prim".

 

Nu kan vi då börja leta efter punkter med dessa egenskaper. Notera att alla sökta punkters egenskaper har något gemensamt; i alla dessa är derivatan 0. Det faktum att det inte finns några andra typer av punkter med denna egenskap (förutom en enkel horisontell linje), garanterar att vi hittar alla sökta punkter om vi letar där derivatan är 0.

 

För att finna dessa punkter behöver vi nu alltså bara lösa (andragrads-)ekvationen

f'(x) = 6x² + 6x = 0

 

6x² + 6x = 0

6x²/6 + 6x/6 = 0/6

x² + x = 0

x² + x + 1/4 = 1/4

(x + 1/2)² = 1/4

x + 1/2 = ±1/2

x = ±1/2 - 1/2

Notera att roten ur ett positivt tal både kan vara positivt och negativt. Det måste vi ta hänsyn, och därav får vi TVÅ lösningar.

1. x = +1/2 - 1/2 = 0
2. x = -1/2 - 1/2 = -1

Alltså finns de speciella punkterna vi söker vid x = -1 och x = 0. Det är nu dags att ta reda på vad det är för specifika punkter genom att undersöka deras egenskaper. Det finns olika sätt att undersöka punkters egenskaper, men för att illustrera derivatans funktion väljer jag att undersöka punkternas egenskaper med derivatanalys.

 

Som du säkert vet är har en ökande funktion en positiv derivata, (respektive minskande, negativ). Vi vill undersöka punkterna och koppla resultatet till den andra egenskapen hos de respektive punkter vi söker, d.v.s. att derivatan skiftar tecken från + till -, tvärtom, eller inte alls. Detta betyder även att derivatan respektive minskar eller ökar.

 

Så låt oss derivera derivatan för att undersöka om derivatan är ökande eller minskande.

f'(x) = 6x² + 6x

f''(x) = 2*6x^2-1 + 6x^1-1

f''(x) = 12x + 6

Vi har nu framställt andraderivatan, betecknad "f-bis".

 

I punkten x = -1 är f''(-1) = 6 - 12 = -6. Alltså minskar derivatan i x = -1. Då derivatan i punkten är 0, minskar den därför i denna punkt till ett negativt värde. Med andra ord växlar derivatan tecken från + till -. x = -1; f = 2 är därför en maximipunkt.

 

I punkten x = 0 är f''(0) = 6. Alltså ökar derivatan i x = 0. Derivatan i punkten är 0, och därför ökar derivatan enligt andraderivatans positiva värde, till ett positivt värde. Med andra ord växlar derivatan tecken från - till +. x = 0; f = 1 är därför en minimipunkt.

 

Då var vi klara, men eftersom jag tog upp analysegenskaperna hos en terrasspunkt kan jag ju tala om hur det ser ut också. Här beskriver jag även en riktig klursituation som endast kan knytas upp med en mer djupgående derivatanalys, som kan anta flera olika former, maximi-, minimi- eller terrasspunkter.

 

Låt oss säga att derivatan till en funktion är x^2 och att vi hittat en punkt x = 0 (naturligtvis) där derivatan är 0. Andraderivatan är då

f''(x) = 2x

 

I punkten x = 0 är då andraderivatan också 0. Detta säger att derivatan inte kommer att förändras, men det gör den ändå. Därför att tredjederivatan är f'''(x) = 2, som ökar andraderivatan, och därav ökar derivatan. Stöter man på detta krävs djupgående derivatanalys där man tar fram en klar bild av hur de underliggande derivatornas förändring propageras upp och vidare till de överliggande derivatorna. Det finns inga regler för hur detta beter sig, så här måste man vidare ta hänsyn till allt.

 

När dessa underliggande derivatavärden propageras uppåt kan alla former som maximi-, minimi- och terrasspunkter uppstå. Det är därför som derivatanalys är klurigt i vissa svåra fall. Men det är lika användbart i alla situationer.

 

Annars kan man även analysera punkterna med hjälp av stickprov av värdena vid sidan av punkten, om man har en tillräckligt snäll funktion.

Redigerat 1 Juni 2012 av Vitdom