Negativa Tal

[PussyCat]

Minus minus blir plus: Det gäller att -x är det tal som lagt till x ger summan 0. För t ex x = -7 innebär detta att -(-7) är det tal som lagt till -7 ger summan 0. Eftersom -7 + 7 = 0 så är det sökta talet -(-7) lika med 7. Allmänt gäller att -(-x) = x. På samma sätt är x - y det tal som lagt till y ger summan x. Då y = -z ger detta att x - (-z) är det tal som skall läggas till -z för att man skall få x. Men lägger man x + z till -z så får man ju x och detta medför att x - (-z) = x + z.

 

Minus gånger minus blir plus: Att (-x)(-y) = xy är en följd av att vissa räknelagar skall vara uppfyllda. Vi kan börja med att förklara varför (-x)y = -(xy). Distributiva lagen, dvs (a + B )c = ac + bc, ger att 0 = 0⋅y = (x + -(x))y = xy + (-x)y. Detta visar att om man lägger (-x)y till xy får man summan noll. Enligt vad som sades i första stycket innebär detta att (-x)y = -(xy). Vi får sedan att 0 = 0⋅(-y) = (x + (-x))(-y) = x(-y) + (-x)(-y), vilket ger att (-x)(-y) = -(x(-y)) = -((-y)x) = -(-(yx)) = yx = xy.

 

Minus delat med minus är plus: Detta följer direkt av att y/x är det tal som multiplicerat med x ger produkten y och reglerna för multiplikation.

 

Att din lärare går igenom negativa tal med dig får mig att tro att du går i grundskolan och att du inte förstod så mycket av vad som sades ovan. Vi försöker med tallinjen som har en nolla någonstans, negativa tal till vänster om nollan och positiva till höger. Talet 5 ligger då 5 enheter till höger om 0 och talet -5 ligger 5 enheter till vänster om 0. Att addera ett positivt tal, t ex 7, till ett tal skall betyda att man förflyttar sig så många enheter åt höger. Man inser då att -5 + 7 = 2 och 5 + 7 = 12. Att addera ett negativt tal innebär att flytta sig ett antal enheter åt vänster. Att addera -7 betyder att gå 7 enheter åt vänster. -5 + (-7) = -12, 5 + (-7) = -2. Att subtrahera betyder att gå åt motsatta hållet. Att subtrahera 7 från 5 betyder alltså att flytta sig 7 steg åt vänster. Att subtrahera (-7) från 5 att gå 7 enheter åt höger och då hamnar man i 12.

 

Vad gäller multiplikation kan man resonera på ett liknande sätt men där är kanske multiplikationstabellen bättre. En del av treans tabell bakifrån är 4⋅3 = 12, 3⋅3 = 9, 2⋅3 = 6, 1⋅3 = 3, 0⋅3 = 0. Hur skall vi fortsätta, dvs vad skall (-1)⋅3 vara? Eftersom talen minskat med 3 i varje steg innan så bör de väl fortsätta att göra det. Efter 0 bör alltså -3 komma. Fortsättningen blir (-1)⋅3 = -3, (-2)⋅3 = -6 osv. Ett grundläggande krav på multiplikation är att ordningsföljden inte skall ha någon betydelse. Vi inser då att 4⋅(-3) = -12, 3⋅(-3) = -9, 2⋅(-3) = -6, 1⋅(-3) = -3, 0⋅(-3) = 0. Här ökar talen med 3 i stället. Den naturliga fortsättningen blir (-1)⋅(-3) = 3, (-2)⋅(-3) = 6 osv.

 

Kjell Elfström

Redigerat 20 September 2011 av PussyCat

[Mezox]

Vi kan prova det här: Säg till mig ett alternativ till att (-3)*(-7) = 21. Alltså ge mig ett förslag till vad (-3)*(-7) skulle kunna vara (som inte är 21) så kan jag försöka ge ett resonemang till varför det inte kan bli det.

[Vitdom]

Förkortad sammanfattning av Inlägg #13:

 

Om du tar 3 stycken -2 gånger:

0: 3

1: 0

2: -3

Du har alltså tre, och tar bort 3 stycken 2 gånger.

 

Det samma om du tar -5 stycken -3 gånger:

0: -5

1: 0

2: 5

3: 10

Du har -5 ( :lol: ) och tar bort -5 stycken 3 gånger.

Detta leder till att du lägger till 5 stycken 3 gånger.

Redigerat 20 September 2011 av Vitdom

[Viruz256]

Förkortad sammanfattning av Inlägg #13:

 

Om du tar 3 stycken -2 gånger:

0: 3

1: 0

2: -3

Du har alltså tre, och tar bort 3 stycken 2 gånger.

 

Det samma om du tar -5 stycken -3 gånger:

0: -5

1: 0

2: 5

3: 10

Du har -5 ( :lol: ) och tar bort -5 stycken 3 gånger.

Detta leder till att du lägger till 5 stycken 3 gånger.

Det stämmer ju inte, 3*-2=-6, inte -3. precis som -5*-3=15.

[Dave37]

Vi kan prova det här: Säg till mig ett alternativ till att (-3)*(-7) = 21. Alltså ge mig ett förslag till vad (-3)*(-7) skulle kunna vara (som inte är 21) så kan jag försöka ge ett resonemang till varför det inte kan bli det.

(-3)*(-7) = -21

 

Förklara varför inte. :P

 

------

 

hmm... jag fattar (detta är så länge sen så jag har själv glömt av varför produkten av två negativa tal blir positiva). t.ex. 2*3 betyder att man lägger ihop 2 tre gånger, alltså 0+2+2+2=6. Minus är omvänt till plus så när man tar 2*(-3) så gör man tvärt om, man drar ifrån 2 tre gånger, alltså 0-2-2-2=6. När man tar bägge minus så drar man ifrån från fråndragningen, alltså man gör tvärtom två gånger samtidigt, så det blir som att vända sig om två gånger så det blir samma som att gångra två positiva tal. alltså 0-(-2)-(-2)-(-2) = 0+2+2+2 = 6.

 

Typ så? :D (försökte resonera i enkla matematiska termer även om jag vet att det kan göras väldigt mycket rigorösare)

[Mezox]

Dave: Distributiva lagen a(b+c) = ab+ac gäller då inte:

-42 = -21+(-21) = (-3)*(-7)+3*(-7) = (-3+3)*(-7) = 0*(-7) = 0

(antar här att du accepterar att 3*(-7) = -21)

 

Man kan väl kanske också säga: (-a)*(-b) / ( a*(-b) ) = (-a) / a = (-1)*a / a = -1, och eftersom kvoten av de två talen inte är 1 kan de inte vara samma sak.

 

Skriver kanske igen om jag kommer på fler bra anledningar.

Redigerat 25 September 2011 av Mezox

[Dave37]

Dave: Distributiva lagen a(b+c) = ab+ac gäller då inte:

-42 = -21+(-21) = (-3)*(-7)+3*(-7) = (-3+3)*(-7) = 0*(-7) = 0

(antar här att du accepterar att 3*(-7) = -21)

 

Man kan väl kanske också säga: (-a)*(-B) / ( a*(-B) ) = (-a) / a = (-1)*a / a = -1, och eftersom kvoten av de två talen inte är 1 kan de inte vara samma sak.

 

Skriver kanske igen om jag kommer på fler bra anledningar.

Jag håller med dig men är argumentet "distributiva lagen håller inte" något som en 13-åring med normala mattekunskaper fattar? ;)

[Mezox]

Jo, jag tänkte mer som ett svar till den som frågade :P

Här är ett annat sätt att se på det:

 

Vi håller alla med om att typ 3*7 betyder att vi adderar 7 med sig självt 3 gånger. Man kan också uttrycka det som att vi har 3 stycken 7:or.

 

På samma sätt kan vi säga att 4*7 betyder att vi har 4 stycken 7:or eller att 3*(-7) betyder att vi har 3 stycken -7:or.

 

Då skulle (-3)*(-7) betyda att vi har -3 stycken -7:or. Det är svårt att tänka sig vad det skulle betyda att man har ett negativt antal av något, men däremot är det inte svårt att räkna med det.

 

När man lär sig addition från första början ser man det ofta som just att man adderar antal av grejer.

T.ex. kan man tänka sig 3+5 som att man har 3 äpplen och att man får 5 äpplen till och att man då sammanlagt har 3+5=8 äpplen.

 

Vi provar samma analogi med negativa tal: -3+3 betyder att vi har -3 äpplen och att vi får 3 äpplen och att vi därför får noll äpplen. Alternativt kan vi säga att vi har 3 äpplen och att vi tar bort 3 äpplen så att vi får noll äpplen.

 

Nu är vi överens om att 3*(-7) är 3 styckna -7:or och (-3)*(-7) är -3 styckna -7:or. Nu provar vi att addera dessa:

3*(-7)+(-3)*(-7) vi har alltså 3 styckna -7:or och vi lägger till -3 styckna -7:or, men detta är samma som att säga att vi har 3 styckna -7:or och att vi TAR BORT 3 styckna -7:or. Då har vi 0 styckna -7:or kvar, vilket är lika med noll.

 

Alltså borde man få noll om man adderar 3*(-7) och (-3)*(-7) och eftersom 3*(-7)=-21 så måste (-3)*(-7)=21 så att det ska bli noll.