Problem Med En Funktion

[Dave37]

Jag letar efter en funktion g(x) som har följande egenskaper och relation till den kända funktionen f(x).

 

g(x)>f(x)>0

 

f(x) och g(x) är differentierbara och kontinuerliga funktioner, i samtliga punkter.

f(x) är definierad för alla x sådana att x₁ =< x =< x₂.

g(x) är definierad för alla x sådana att x₁-a =< x =< x₂+b, där a och b är positiva och mindre eller lika med k. ( värdet av a och b är mindre viktiga och ges automatiskt av senare villkor)

k > 0

f(x₁) = f(x₂) = 0

Varje punkt (x_i, g(x_i)) har en och endast en punkt (x_j, f(x_j)) vars avstånd emellan är exakt k. Alla övriga punkter på f(x) har ett avstånd större än k från punkten (x_i, g(x_i)).

Dessutom gäller att g'(x_i) = f'(x_j).

 

Så jag tror det var alla villkor. förutsatt att jag känner f(x) och dess gränser, går det att räkna ut g(x) och i så fall hur?

Redigerat 11 Augusti 2012 av Dave37

[naabiz]

Jaadu, jag skulle tro att det blir: x53, (xj - K.

[Mezox]

Jag har en idé om hur g(x) ser ut. I varje punkt på grafen till f drar man normalen till grafen och går längs den "uppåt" k längdenheter för att få en punkt på g. Om f har en kontinuerlig monoton derivata bör då detta definiera en trevlig funktion som uppfyller i princip alla villkor du angav (möjligtvis med undantaget att g inte kommer vara definierad på intervallet du beskrev).

 

Om f inte har en kontinuerlig och monoton derivata är jag inte hundra på vad som händer, men för vissa sådanna funktioner tror jag inte man kan hitta g som du beskrev det.

 

Ska kanske tänka på hur man kan räkna ut g senare (eller om det går).

[Dave37]

Jag har en idé om hur g(x) ser ut. I varje punkt på grafen till f drar man normalen till grafen och går längs den "uppåt" k längdenheter för att få en punkt på g. Om f har en kontinuerlig monoton derivata bör då detta definiera en trevlig funktion som uppfyller i princip alla villkor du angav (möjligtvis med undantaget att g inte kommer vara definierad på intervallet du beskrev).

Ja just det, f(x₁) = f(x₂) = 0, och da hamnar g(x) inom det intervallet jag angav (såg att jag definierat a och b fel men det är fixat nu). Missade det villkoret. Lägger till det i första inlägget. Men annars har du förstått hur g(x) ser ut. Jag höll på och snurra utefter det tankesättet du beskrev men fick bara var punkt på g(x) parametriserad och inte själva funktionen.

 

Om f inte har en kontinuerlig och monoton derivata är jag inte hundra på vad som händer, men för vissa sådanna funktioner tror jag inte man kan hitta g som du beskrev det.

t.ex. f(x) = 10-|x| for -10<x<10 är en sådan funktion som ger ett konstigt g(x) om allt ska stämma, sa ja f'(x) måste ha ett värde i samtliga punkter inom definitionsområdet.

 

Ska kanske tänka på hur man kan räkna ut g senare (eller om det går).

Tack så mycket, känner att den matten ligger precis på gränsen eller utanför vad jag klarar av och jag vet inte längre hur jag ska angripa problemet efter att ha testat 3-4 olika sätt. Redigerat 10 Augusti 2012 av Dave37

[Whore]

... befinner inte du dig på den franska rivieran just nu? :mellow:

[Escain]

... befinner inte du dig på den franska rivieran just nu? :mellow:

Jag tror detta är semesterunderhållning för Dave... :mellow:

[Dave37]

... befinner inte du dig på den franska rivieran just nu? :mellow:

ser inte riktigt hur det är relevant for tråden men ja, 250 meter till havet kanske i skrivande stund. Men jag tycker medelhavet ar något for salt (svider i ögonen) och solen bränner lite mer än vad som är behagligt, även om värmen ar ett trevligt inslag. åker hem imorgon, ville se om Mezox hade kommit fram till något så att jag kunde fortsätta räkna på planet hem. och Draghon har helt rätt. Semestrar likt denna är då jag har tid att riktigt gotta ner mig i ett riktigt klurigt matematisk problem. förra året när jag var i Italien tog jag fram en konstant för att med luftens temperatur och tryck få dess densitet samt en formel for att beräkna solens intensitet var som helst på jorden och vilken tid på året som helst, justerad for skottår och allt. Redigerat 10 Augusti 2012 av Dave37

[Whore]

Det var inte relevant alls, jag blev bara lite road. Mest för att jag själv avskyr matte. :D Men hade jag skillsen skulle jag säkert sitta med någonting liknande själv...

[Mezox]

Jag tror jag har hittat ett sätt att uttrycka den sökta funktionen. Problemet är att det verkar som att det är få funktioner som låter sig få en fin formel eller ens en exakt formel efter denna behandlig. Jag har provat den på linjära funktioner och den verkar då funka utmärkt. Jag provade med den relativt enkla funktionen y= 1/x och behövde då lösa en sjättegradare om jag ville få det att funka.

 

Den funktion som spelar en nyckelroll är h(x) = x - ( k * f'(x) ) /Sqrt(f'(x)^2 +1 ) . Här är en länk till wolfram alpha (bry dig inte om snacket om diffekvationer under, wolfram kan bara inte göra vett av det hela eftersom funktionen f är okänd).

 

Det ser ut som att problemet har en fin lösning om h är inverterbar på rätt intervall. Beteckna då den inversa funktionen med h*(x).

 

Lösningen till problemet borde då bli:

 

g(x) = f(h*(x)) + k/Sqrt(f'(h*(x))^2+1)

 

Vi kan kanske prova lösningen numeriskt på lite mer avancerade funktioner?

 

EDIT: Vet inte om det var uppenbart men problemet här, alltså det svåra, är då att hitta den inversa funktionen till h. För linjära funktioner f blir även h linjär och det blir det lätt. Men därifrån blir det snabbt komplicerat.

Redigerat 10 Augusti 2012 av Mezox

[Dave37]

Ja för funktioner sådana att f(x) = cx+m är det ju givet att g(x) = f(x) + k. Och för funktionen f(x) = 1/x känns det spontant som att g(x) = f(x-k)+k, men jag är inte helt säker i det fallet då jag inte har kollat det. Jag försökte hitta g(x) för f(x) = x² men utan att jag lyckades (nu har jag inte testat med din hjälpfunktion visserligen), men min magkänsla säger mig att för ett sådant f(x) så blir g(x) något i stil med g(x) = sum_n=0^inf (C_nxⁿ).

 

Om det inte är fruktansvärt jobbigt så får du gärna förklara hur du kommit fram till det du gjort, för även om det är trevligt att få ett svar så är det ännu trevligare att förstå och lära sig något. :D

 

Numeriska test borde jag kunna göra i Matlab (antar att du vet vad det är). Inte helt säker men kanske. Har ju i så fall mer med mina begränsningar inom programmet än programmet i sig.

Redigerat 10 Augusti 2012 av Dave37

[Mezox]

Jag tror du underskattar problemet (om jag har förstått problemet rätt då). Man ska beräkna det vinkelräta avståndet, vilket inte behöver vara samma x- eller y-koordinat. T.ex. så ligger linjerna y = x och y = x + sqrt(2) på avståndet 1 från varandra och inte på avståndet sqrt(2). I fallet med y=1/x blir det mer komplicerat.

 

Sättet jag fick fram det jag fick kan jag kanske förklara snart men jag tror inte jag kommer ge en fullständig genomgång eftersom det blir lite för många formler att skriva på en sida som inte är anpassad för det.

Redigerat 10 Augusti 2012 av Mezox

[Dave37]

Jag tror du underskattar problemet (om jag har förstått problemet rätt då). Man ska beräkna det vinkelräta avståndet, vilket inte behöver vara samma x- eller y-koordinat. T.ex. så ligger linjerna y = x och y = x + sqrt(2) på avståndet 1 från varandra och inte på avståndet sqrt(2).

Ja jo givetvis. Jag som underskattade problemet då jag har knåpat med väldigt enkla funktioner som f(x) = x och k = 1. Skulle tänkt mig för. XD

 

I fallet med y=1/x blir det mer komplicerat.

 

Sättet jag fick fram det jag fick kan jag kanske förklara snart men jag tror inte jag kommer ge en fullständig genomgång eftersom det blir lite för många formler att skriva på en sida som inte är anpassad för det.

Skriv det på någon annan sida om du kan då och printscreena. Om du orkar. Jo jag vet att det är ett äckligt problem då alla x-värden "speglas" genom f(x), det är iaf så som jag har stundtals sätt på problemet. just faktumet att det i princip är g'(x₁) = f'(x₂) som är nyckelvillkoret här och varken g(x) inte alls behöver (och antagligen sällan är) vara av samma typ som f(x) och att det inte finns något tydligt samband mellan x₁ och x₂. Jag la nog ner en hel dag (eller åtminstone några timmar den dagen) på att klura på hur fan det skulle göras men det var för svårt av just den anledningen.