Problem Med En Funktion

[Mezox]

Hmm försökte köra numeriskt i mathematica med f(x) = x^2 och resultatet känns inte så uppfyllande. Min funktion g går mot f mycket snabbare än det borde.

Redigerat 10 Augusti 2012 av Mezox

[Dave37]

Ja efter att ha överskådat problemet med f(x) = x² insåg jag att det var extremt krångligt. Jag menar ett sådant f(x) är ju ändå en väldigt enkel funktion. En funktion som likt t.ex. en bell curve eller liknande hade ju varit hemskt.

[Mezox]

Ja! Gjorde ett litet fel, nu ser det bra ut för f(x) = x^2, postar bild snart.

 

Den blå grafen är y = -x^2 och g är den röda. Jag valde -x^2 istället för x^2 eftersom jag inte är hundra på om problemet har en lösning för y = x^2.

 

EDIT: Detta är med k=1 då.

Redigerat 10 Augusti 2012 av Mezox

[Dave37]

Ser mycket vackert ut. :D

 

Ser framemot din förklaring till hur du åstadkommer denna magi. :D

[Mezox]

Jag kan börja med att nämna att jag helt ignorerade villkoret g'(x_i) = f'(x_j) eftersom man genom att tänka en del kan inse att det följer från de andra villkoren.

[Dave37]

Jag kan börja med att nämna att jag helt ignorerade villkoret g'(x_i) = f'(x_j) eftersom man genom att tänka en del kan inse att det följer från de andra villkoren.

Japp i och med att man drar en normal och väljer en punkt k längdenheter bort från varje punkt. Gör man det numeriskt är det helt klart rätt väg att gå.

[Mezox]

Japp, men det intressanta är att när man gör detta så kommer även det sista villkoret "automatiskt" att uppfyllas precis som på min bild.

[Whore]

Är det fest här eller?

[Dave37]

Japp, men det intressanta är att när man gör detta så kommer även det sista villkoret "automatiskt" att uppfyllas precis som på min bild.

Jag försökte lösa det med cirkelns ekvation men det gick inte riktigt ihop eftersom man har olika x-värden och det behövdes fler samband för att få ut alla okända. Det var väl den där hjälpfunktionen jag saknade mer eller mindre. Haha jag testade så många sätt. XD

 

Är det fest här eller?

Näst intill. Det är förfest nu, den riktiga festen börjar när jag förstår Mezoxs matematik. :D

[Mezox]

Resonemanget kan ha några luckor, men jag tror att de flesta går att fylla igen:

 

Fixera en punkt (a,b) på grafen till f (det gäller att b=f(a) men jag skriver b så länge för att notationen blir bättre). Tangentens lutning ges av f'(a) och därför ges normalens lutning av -1/f'(a).

 

Ekvationen för normalen blir då y = b - (x-a)/f'(a) (klicka här och kolla under "enpunktsform").

 

Vi vill nu räkna ut hur mycket höger/vänster vi ska ta oss längs linjen för att komma till en punkt ovanför med avstånd k till (a,b). För att göra detta antar vi att det gäller att punkten (a+r, b') ligger ovanför (a,b) och på linjen på ett avstånd k från (a,b). Notera att r>0 då f'(a)<0 och r<0 då f'(a)>0 (med andra ord, om grafen lutar negativt i a måste vi gå åt höger längs normalen för att komma uppåt och tvärtom om grafen lutar uppåt).

 

Genom att rita en rätvinklig triangel (eller eventuellt två stycken, ett i varje fall) och använda pythagoras sats kommer man fram till att: r^2 + (r/f'(a))^2 = k^2 (där -r/f'(a) representerar hur långt uppåt vi kommer eftersom normalen lutar -1/f'(a) ).

 

Detta ger oss att r = +/- k/Sqrt(1+(1/f'(a))^2) = +/- k|f'(a)| / Sqrt(f'(a)^2+1) efter förlängning med |f'(a)|. Här vet vi att tecknet +/- kommer måste väljas så att r och f'(a) får motsatta tecken. Med andra ord + om f'(a)<0 och - om f'(a)>0. Vi har alltså fått:

 

r = -kf'(a)/Sqrt(f'(a)^2+1)

 

Detta betyder att punkten (a+r, b') = (a+r, b -(a+r-a)/f'(a) ) = (a+r, b-r/f'(a) ) = (a-kf'(a)/Sqrt(f'(a)^2+1), b+k/Sqrt(f'(a)^2+1)) är en punkt på grafen till g(x) för varje par av (a,b) som ligger på f(x).

 

Med andra ord, för alla x (som f är definierad på) gäller att:

 

(x-kf'(x)/Sqrt(f'(x)^2+1), f(x)+k/Sqrt(f'(x)^2+1)) ligger på g(x). Sätt nu h(x) lika med det som står i första-koordinatsplatsen och s(x) lika med det som står i andra koordinatplatsen. Detta innebär att g(h(x)) = s(x).

 

Anta nu att vi vill beräkna g(z) för något z. Om vi kan hitta ett x sådant att h(x) = z så kommer automatisk g(z) = g(h(x)) = s(x) = f(x)+k/Sqrt(f'(x)^2+1). Med andra ord, om h* är den inversa funktionen till h så kommer x=h*(z) och vi kommer exakt få:

 

g(z) = f(h*(z)) + k/Sqrt(f'(h*(z))^2+1)

 

Alltså, det jag skrev i ett tidigare inlägg.

 

Säg till om något är oklart eller om jag gjort ett fel någonstans.

 

Notera att om h inte har en invers så betyder att vissa punkter på grafen till g kommer bestämmas av flera punkter på grafen till f. Om man tänker på det sista villkoret (att derivatorna ska vara lika) så innebär detta att vi kommer få "loops" och då kommer lösningen inte längre vara en funktion utan "bara" en kurva.

 

En intressant grej jag vill påpeka här är att det något oväntat egentigen är väldigt lite analys som pågår. Det mesta är manipulationer av ekvationen för en linje y=kx+m, vilket man lär sig i Ma B.

Redigerat 11 Augusti 2012 av Mezox

[Dave37]

Jag "skummade" inlägget och det ser najs ut, men ska sätta mig lite senare och skriva om alla uttryck så att det ser ut som det ska, är väldigt svårt att hänga med när matematiska uttryck är skrivna som "text". Det verkar som om du har gjort nästan exakt som jag. fast haft en något snyggare notation som inte förvillat lika mycket. Dessutom trodde jag att svaret skulle komma tidigare så jag lät mig köra fast för tidigt.

 

Notera att om h inte har en invers så betyder att vissa punkter på grafen till g kommer bestämmas av flera punkter på grafen till f. Om man tänker på det sista villkoret (att derivatorna ska vara lika) så innebär detta att vi kommer få "loops" och då kommer lösningen inte längre vara en funktion utan "bara" en kurva.

Detta är det enda jag hittills har lite svårt att hänga med. Förutsatt att jag fortfarande vet vad en invers funktion innebär. x² har inte en invers funktion eller hur för den är inte injektiv, alltså har samma y-värde för olika x-värden? Och utifrån ditt resonemang går det givetvis inte att få fram ett g(x) eftersom du förlitar dig på h^*(x), men det känns ändå som om det vore möjligt att hitta ett g(x) även för ej injektiva funktioner, jag hänger inte med på hur det blir "loops".

 

EDIT: Kom på nu att jag återigen tänkte fel och det är h(x) som måste vara injektiv och inte f(x). >.< Ok får fundera på en funktion f(x) som gör att h(x) saknar invers.

Redigerat 11 Augusti 2012 av Dave37

[Mezox]

Jag har nu gjort ett program i mathematica som jag tror kan lösa den för alla trevliga funktioner som den har en lösning för och märkt att problemet är väldigt intressant. T.ex. verkar det som att om f(x) = x^2 så har problemet en snygg lösning då k är mindre än eller lika med 1/2 medan lösningen förstörs en bit i mitten om k>1/2. Detta stämmer med vad man kan vänta sig eftersom de två olika "halvparablarna" på de olika sidorna av symmetrilinjen kommer att interferera med varandra.

Redigerat 11 Augusti 2012 av Mezox