Hoppa till innehåll

Ensamma Bråk


Mezox

Rekommendera inlägg

Som vi vet är bråk tal som skrivs som en kvot av två heltal. T.ex. 5 sjättedelar, 3 sjundedelar, en halv o.s.v.. Mer generellt kan man skriva bråk som a/b där a och b är heltal.

 

Låt oss kalla ett bråk för ett "ensamt bråk" om det kan skrivas som 1/b där b är ett positivt heltal. Med andra ord är alla positiva bråk med en täljare lika med 1 ensamma bråk. De ser ut som 1/1, 1/2, 1/3, 1/4, osv.

 

Låt oss nu välja ett ensamt bråk. Vi ställer oss frågan: Kan man alltid skriva detta ensamma bråk som en summa av två andra ensamma bråk? Om man kan, kan man göra det på flera sätt? Finns det ett sätt att konstruera en sådan summa?

 

Till exempel är 1/6 ett ensamt bråk. 1/6 är lika med summan av 1/10 och 1/15, men också en summa av 1/12 med sig självt. Hitta fler exempel på detta och försök hitta mönster!

  • Gilla 3
Länk till kommentar
Dela på andra sajter

1/a + 1/b = 1/c

(b+a)/(ba) = 1/c

 

c = (ba)/(b+a)

 

hmm... det verkar som om det finns alltid finns två sätt att skriva ensamma bråk.

 

http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28floor%28b%29*floor%28a%29%29%2F%28floor%28b%29%2Bfloor%28a%29%29+%3D+37

 

EDIT: Jag vaknade för någon minut sen så jag orkar inte fundera på det mer just nu.

Redigerat av Dave37
Länk till kommentar
Dela på andra sajter

Nä men det måste ju finnas något relativt enkelt mönster.

 

t.ex.

1/2 kan skrivas som 1/3 + 1/6

1/4 kan skrivas som 1/6 + 1/12

1/8 kan skrivas som 1/12 + 1/24

1/(2n) kan skrivas som 1/(3n) + 1/(6n)

 

Om n är ett heltal större eller lika med 1.

 

för udda tal

1/3 kan skrivas som 1/4 + 1/12

1/5 kan skrivas som 1/6 + 1/30

1/7 kan skrivas som 1/8 + 1/56

1/(2n+1) kan skrivas som 1/(2+2n)+1/(2+6n+4n2)

 

Om n är ett heltal större eller lika med 0.

 

Specialfallet blir för udda tal då n är 0 och formeln reduceras till de andra lösningarna som är på formen 1/(2a) + 1/(2a) = 1/a, och i detta specialfall är a = 1.

 

 

Frågan är hur och om det går att generalisera ännu mera.

 

EDIT: Insåg att jag gjort en massa fel, återkommer senare!

Redigerat av Dave37
Länk till kommentar
Dela på andra sajter

1 till 100 utan 1/(2b)+1/(2b).

 

Exemplet "1/11 == 1/12 + 1/132" är inte med då en divisor var över 100. Kan göra mer simuleringar om så önskas.

 

1/2 == 1/3 + 1/6

1/3 == 1/4 + 1/12

1/4 == 1/5 + 1/20

1/4 == 1/6 + 1/12

1/5 == 1/6 + 1/30

1/6 == 1/7 + 1/42

1/6 == 1/8 + 1/24

1/6 == 1/9 + 1/18

1/6 == 1/10 + 1/15

1/7 == 1/8 + 1/56

1/8 == 1/9 + 1/72

1/8 == 1/10 + 1/40

1/8 == 1/12 + 1/24

1/9 == 1/10 + 1/90

1/9 == 1/12 + 1/36

1/10 == 1/12 + 1/60

1/10 == 1/14 + 1/35

1/10 == 1/15 + 1/30

1/12 == 1/14 + 1/84

1/12 == 1/15 + 1/60

1/12 == 1/16 + 1/48

1/12 == 1/18 + 1/36

1/12 == 1/20 + 1/30

1/12 == 1/21 + 1/28

1/14 == 1/18 + 1/63

1/14 == 1/21 + 1/42

1/15 == 1/18 + 1/90

1/15 == 1/20 + 1/60

1/15 == 1/24 + 1/40

1/16 == 1/20 + 1/80

1/16 == 1/24 + 1/48

1/18 == 1/22 + 1/99

1/18 == 1/24 + 1/72

1/18 == 1/27 + 1/54

1/18 == 1/30 + 1/45

1/20 == 1/25 + 1/100

1/20 == 1/28 + 1/70

1/20 == 1/30 + 1/60

1/20 == 1/36 + 1/45

1/21 == 1/28 + 1/84

1/21 == 1/30 + 1/70

1/22 == 1/33 + 1/66

1/24 == 1/32 + 1/96

1/24 == 1/33 + 1/88

1/24 == 1/36 + 1/72

1/24 == 1/40 + 1/60

1/24 == 1/42 + 1/56

1/26 == 1/39 + 1/78

1/28 == 1/42 + 1/84

1/28 == 1/44 + 1/77

1/30 == 1/45 + 1/90

1/30 == 1/48 + 1/80

1/30 == 1/50 + 1/75

1/30 == 1/55 + 1/66

1/32 == 1/48 + 1/96

1/35 == 1/60 + 1/84

1/36 == 1/60 + 1/90

1/36 == 1/63 + 1/84

1/40 == 1/72 + 1/90

1/42 == 1/78 + 1/91

Redigerat av WASD
Länk till kommentar
Dela på andra sajter

Fast med wolfram alphas hjälp hittade jag följande bråk för t.ex. 1/8:
 

1/9 + 1/72

1/10 + 1/40

1/12 + 1/24

1/16 + 1/16

 

 

Jag ska kolla närmare in på sifferföljden 9, 10, 12, 16, 24, 40, 72 och jämföra den med de sifferföljder jag lär få andra ensamma bråk sen.

 

EDIT: såg att du också fått fram dem nu. WASD, gör om simuleringen fast med bråken som som är 1/(2a) + 1/(2a). Eller ja, plocka ut talföljderna för varje nämnare. Men denna gången, gör det ner till 1/10 och ta med alla bråk som programmet hittar, även om de är mindre än 1/100.

Redigerat av Dave37
Länk till kommentar
Dela på andra sajter

Nämnare 2-10 med summor av ensamma bråk ner till 1/10000

Edit: Bortsett från 1/b == 1/(2b)+1/(2b)
 

1/2 == 1/3 + 1/6
1/3 == 1/4 + 1/12
1/4 == 1/5 + 1/20
1/4 == 1/6 + 1/12
1/5 == 1/6 + 1/30
1/6 == 1/7 + 1/42
1/6 == 1/8 + 1/24
1/6 == 1/9 + 1/18
1/6 == 1/10 + 1/15
1/7 == 1/8 + 1/56
1/8 == 1/9 + 1/72
1/8 == 1/10 + 1/40
1/8 == 1/12 + 1/24
1/9 == 1/10 + 1/90
1/9 == 1/12 + 1/36
1/10 == 1/11 + 1/110
1/10 == 1/12 + 1/60
1/10 == 1/14 + 1/35
1/10 == 1/15 + 1/30

Endast det fetmarkerade har ett tal över 100 och jag körde som sagt försök ner till 1/10000 så det finns nästan garanterat inget under det. Denna listan påstår jag således är alla ensamma bråk som kan bilda de ensamma bråken 1/2 till 1/10.

 

Ett mönster jag ser i 1/a == 1/b + 1/c är att c oftast är jämt delbart med b.

Redigerat av WASD
Länk till kommentar
Dela på andra sajter

ok så då har vi följande:

2:

3, 4, 6

 

3:

4, 6, 12

 

4:

5, 6, 8, 12, 20

 

5:

6, 10, 30

 

6:

7, 8, 9, 12, 18, 24, 42

 

7:

8, 14, 58

 

8:

9, 10, 12, 16, 24, 40, 72

 

9:

10, 12, 18, 36, 90

 

10:

11, 12, 14, 15, 20, 30, 35, 60, 110

 

 

Hmm... Jag ser inget mönster direkt... förutom att det verkar som om primtalen bara kan delas upp på två sätt. WASD, testa att köra med bara primtal, typ alla primtal upp till 100.

Länk till kommentar
Dela på andra sajter

Gå med i konversationen

Du kan skriva nu och registrera dig senare. Om du har ett konto, logga in nu för att posta med ditt konto.

Gäst
Svara på det här ämnet...

×   Klistrade in som rich text.   Klistra in som vanlig text istället

  Endast 75 emojis är tillåtet.

×   Din länk har automatiskt inbäddats.   Visa som en länk istället

×   Ditt tidigare innehåll har återställts.   Rensa redigeraren

×   Du kan inte klistra in bilder direkt. Ladda upp eller infoga bilder från URL.

×
  • Skapa ny...