Ensamma Bråk

[WASD]

Jag observerade 1/2, 1/4, 1/8, 1/16 och 1/32 och såg mönstret: 1/a = 1/(1.5a) + 1/(3a)

Detta gäller troligen alla 1/2^n

 

Även 1/10 = 1/15 + 1/30 funkar ju så det fetmarkerade gäller kanske om 1.5a är ett jämt tal.

 

1/a = 1/(1.5a) + 1/(3a) är sant för alla a, så ja.

 

 

a/b+a/c=1 verkar stämma för alla mina stickprov.

Redigerat 1 April 2013 av WASD

[Dave37]

 

1/a = 1/(1.5a) + 1/(3a) är sant för alla a, så ja.

 

 

a/b+a/c=1 verkar stämma för alla mina stickprov.

det kanske stämmer för alla a men då är de inte nödvändigtvis ensamma bråk. Givetvis finns de mängder (oändligt många faktiskt) av sätt att dela upp ett bråk i, men vi pysslar ju bara med de enskilda bråken.

 

Din andra slutsats är självklar eftersom det bara är en omskrivning av det vi har konstaterat från början. Dividera bägge sidor med a så ser du det.

[WASD]

1/a = 1/(2a) + 1/(2a)

1/a = 1/(1.5a) + 1/(3a)

1/a = 1/(1.25a) + 1/(5a)

1/a = 1/(1.1a) + 1/(11a)

 

Respektive exempel:

 

1/20 = 1/40 + 1/40

1/20 = 1/30 + 1/60

1/20 = 1/25 + 1/100

1/20 = 1/22 + 1/220

 

Sätt in "1/(1.1) + 1/(x) = 1" i wolfram för att få x=11 vilket innebär min fjärde generella formel.

 

"1/(y) + 1/(x) = 1"

Alternate form assuming x and y are positive:

x*y = x+y

Och 5*1.25 = 5+1.25. Jag bara flummar runt nu så får ni se om ni kommer på något utifrån detta.

Om 5a samt 1.25a är heltal så går det att bygga ett ensamt bråk utav de två.

Redigerat 1 April 2013 av WASD

[Dave37]

Det är bra men det hjälper inte så jättemycket för att hitta just ensamma bråk. Liksom man vill ju veta mde en gång om det är "ok" att använda 1/(1.25a) + 1/(5a) för t.ex. 1/23 utan att behöva räkna och se om det blir två ensamma bråk eller inte.

[WASD]

Jag flummar på främst för att så frön som ni andra kan spå vidare på. Och jag har därigenom redan kommit på ett sätt att göra mitt program för simuleringar över 1000 gånger snabbare.

 

Om man bortser ifrån att b och c måste vara heltal så tror jag att det snabbt utifrån mitt flum går att hitta en generell formel för alla summeringar av två bråk till ett (ensamt) bråk.

Redigerat 1 April 2013 av WASD

[Mezox]

Det finns en "magisk" algebraisk omskrivning som gör det hela lättare :D

[WASD]

b=x*a

c=y*a

 

1/a = 1/(x*a) + 1/(y*a)

x*y = x+y

y=x/(x-1)

1/a = 1/(x*a) + 1/(a*x/(x-1))

 

När x*a och a*x/(x-1) är heltal så funkar det.

 

Utifrån a/b+a/c=1 så

a/(xa)+a/(a*x/(x-1)) = 1

Redigerat 1 April 2013 av WASD

[Dave37]

om x och a är heltal så är alltid ax det. Du är helt klart nått på spåren nu WASD.

[Mezox]

Hmm intressant, men hur kan man ta reda på när ax och ax/(x-1) är heltal? Faktum är att x/(x-1) endast är heltal i det ointressanta fallet x=2. Generellt sätt är x och x-1 relativt prima (de har inga gemensamma delare).

 

Det betyder att vi istället för att ställa frågan

"när är ax och ax/(x-1) heltal?"

kan fråga det ekvivalenta

"när är ax och a/(x-1) heltal?" (x:et faller bort i täljaren av det andra uttrycket eftersom det ändå aldrig kommer ha en gemensam delare med nämnaren). Det är inte samma algebraiska manipulation som jag hade i tanke, men vad säger att det inte funkar?

[Dave37]

om x = (a+1)/n så är a/(x-1) ett heltal right? Fast det kanske är att gå runt problemet. XD

Redigerat 1 April 2013 av Dave37

[Mezox]

----

Redigerat 2 April 2013 av Mezox

[Dave37]

Sluta hjälp oss bara för att vi är tröga! :)