Ensamma Bråk

[Mezox]

Som vi vet är bråk tal som skrivs som en kvot av två heltal. T.ex. 5 sjättedelar, 3 sjundedelar, en halv o.s.v.. Mer generellt kan man skriva bråk som a/b där a och b är heltal.

 

Låt oss kalla ett bråk för ett "ensamt bråk" om det kan skrivas som 1/b där b är ett positivt heltal. Med andra ord är alla positiva bråk med en täljare lika med 1 ensamma bråk. De ser ut som 1/1, 1/2, 1/3, 1/4, osv.

 

Låt oss nu välja ett ensamt bråk. Vi ställer oss frågan: Kan man alltid skriva detta ensamma bråk som en summa av två andra ensamma bråk? Om man kan, kan man göra det på flera sätt? Finns det ett sätt att konstruera en sådan summa?

 

Till exempel är 1/6 ett ensamt bråk. 1/6 är lika med summan av 1/10 och 1/15, men också en summa av 1/12 med sig självt. Hitta fler exempel på detta och försök hitta mönster!

[WASD]

1/(2b)+1/(2b) förstås. Att hitta två olika tal såsom 1/10+1/15 är intressantare.

[Mezox]

Japp :D. Finns det alltid andra sätt att skriva ett ensamt bråk?

[Dave37]

1/a + 1/b = 1/c

(b+a)/(ba) = 1/c

 

c = (ba)/(b+a)

 

hmm... det verkar som om det finns alltid finns två sätt att skriva ensamma bråk.

 

http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28floor%28b%29*floor%28a%29%29%2F%28floor%28b%29%2Bfloor%28a%29%29+%3D+37

 

EDIT: Jag vaknade för någon minut sen så jag orkar inte fundera på det mer just nu.

Redigerat 31 Mars 2013 av Dave37

[WASD]

Jag tror då inte att det finns något annat sätt att skriva 1/1 eller 1/2 på.

[Dave37]

1/1 går bara att skriva som 1/2+1/2 ja, 1/2 går att skriva som 1/3 + 1/6

[WASD]

Jag tar och skriver ett program som brute forcear fram en lista på alla ensamma bråk och summor av andra ensamma bråk som resulterar i dem...

[Dave37]

Nä men det måste ju finnas något relativt enkelt mönster.

 

t.ex.

1/2 kan skrivas som 1/3 + 1/6

1/4 kan skrivas som 1/6 + 1/12

1/8 kan skrivas som 1/12 + 1/24

1/(2n) kan skrivas som 1/(3n) + 1/(6n)

 

Om n är ett heltal större eller lika med 1.

 

för udda tal

1/3 kan skrivas som 1/4 + 1/12

1/5 kan skrivas som 1/6 + 1/30

1/7 kan skrivas som 1/8 + 1/56

1/(2n+1) kan skrivas som 1/(2+2n)+1/(2+6n+4n²)

 

Om n är ett heltal större eller lika med 0.

 

Specialfallet blir för udda tal då n är 0 och formeln reduceras till de andra lösningarna som är på formen 1/(2a) + 1/(2a) = 1/a, och i detta specialfall är a = 1.

 

 

Frågan är hur och om det går att generalisera ännu mera.

 

EDIT: Insåg att jag gjort en massa fel, återkommer senare!

Redigerat 31 Mars 2013 av Dave37

[WASD]

1 till 100 utan 1/(2b)+1/(2b).

 

Exemplet "1/11 == 1/12 + 1/132" är inte med då en divisor var över 100. Kan göra mer simuleringar om så önskas.

 

1/2 == 1/3 + 1/6

1/3 == 1/4 + 1/12

1/4 == 1/5 + 1/20

1/4 == 1/6 + 1/12

1/5 == 1/6 + 1/30

1/6 == 1/7 + 1/42

1/6 == 1/8 + 1/24

1/6 == 1/9 + 1/18

1/6 == 1/10 + 1/15

1/7 == 1/8 + 1/56

1/8 == 1/9 + 1/72

1/8 == 1/10 + 1/40

1/8 == 1/12 + 1/24

1/9 == 1/10 + 1/90

1/9 == 1/12 + 1/36

1/10 == 1/12 + 1/60

1/10 == 1/14 + 1/35

1/10 == 1/15 + 1/30

1/12 == 1/14 + 1/84

1/12 == 1/15 + 1/60

1/12 == 1/16 + 1/48

1/12 == 1/18 + 1/36

1/12 == 1/20 + 1/30

1/12 == 1/21 + 1/28

1/14 == 1/18 + 1/63

1/14 == 1/21 + 1/42

1/15 == 1/18 + 1/90

1/15 == 1/20 + 1/60

1/15 == 1/24 + 1/40

1/16 == 1/20 + 1/80

1/16 == 1/24 + 1/48

1/18 == 1/22 + 1/99

1/18 == 1/24 + 1/72

1/18 == 1/27 + 1/54

1/18 == 1/30 + 1/45

1/20 == 1/25 + 1/100

1/20 == 1/28 + 1/70

1/20 == 1/30 + 1/60

1/20 == 1/36 + 1/45

1/21 == 1/28 + 1/84

1/21 == 1/30 + 1/70

1/22 == 1/33 + 1/66

1/24 == 1/32 + 1/96

1/24 == 1/33 + 1/88

1/24 == 1/36 + 1/72

1/24 == 1/40 + 1/60

1/24 == 1/42 + 1/56

1/26 == 1/39 + 1/78

1/28 == 1/42 + 1/84

1/28 == 1/44 + 1/77

1/30 == 1/45 + 1/90

1/30 == 1/48 + 1/80

1/30 == 1/50 + 1/75

1/30 == 1/55 + 1/66

1/32 == 1/48 + 1/96

1/35 == 1/60 + 1/84

1/36 == 1/60 + 1/90

1/36 == 1/63 + 1/84

1/40 == 1/72 + 1/90

1/42 == 1/78 + 1/91

Redigerat 31 Mars 2013 av WASD

[Dave37]

Fast med wolfram alphas hjälp hittade jag följande bråk för t.ex. 1/8:
 

1/9 + 1/72

1/10 + 1/40

1/12 + 1/24

1/16 + 1/16

 

 

Jag ska kolla närmare in på sifferföljden 9, 10, 12, 16, 24, 40, 72 och jämföra den med de sifferföljder jag lär få andra ensamma bråk sen.

 

EDIT: såg att du också fått fram dem nu. WASD, gör om simuleringen fast med bråken som som är 1/(2a) + 1/(2a). Eller ja, plocka ut talföljderna för varje nämnare. Men denna gången, gör det ner till 1/10 och ta med alla bråk som programmet hittar, även om de är mindre än 1/100.

Redigerat 31 Mars 2013 av Dave37

[WASD]

Nämnare 2-10 med summor av ensamma bråk ner till 1/10000

Edit: Bortsett från 1/b == 1/(2b)+1/(2b)
 

1/2 == 1/3 + 1/6
1/3 == 1/4 + 1/12
1/4 == 1/5 + 1/20
1/4 == 1/6 + 1/12
1/5 == 1/6 + 1/30
1/6 == 1/7 + 1/42
1/6 == 1/8 + 1/24
1/6 == 1/9 + 1/18
1/6 == 1/10 + 1/15
1/7 == 1/8 + 1/56
1/8 == 1/9 + 1/72
1/8 == 1/10 + 1/40
1/8 == 1/12 + 1/24
1/9 == 1/10 + 1/90
1/9 == 1/12 + 1/36
1/10 == 1/11 + 1/110
1/10 == 1/12 + 1/60
1/10 == 1/14 + 1/35
1/10 == 1/15 + 1/30

Endast det fetmarkerade har ett tal över 100 och jag körde som sagt försök ner till 1/10000 så det finns nästan garanterat inget under det. Denna listan påstår jag således är alla ensamma bråk som kan bilda de ensamma bråken 1/2 till 1/10.

 

Ett mönster jag ser i 1/a == 1/b + 1/c är att c oftast är jämt delbart med b.

Redigerat 31 Mars 2013 av WASD

[Dave37]

ok så då har vi följande:

2:

3, 4, 6

 

3:

4, 6, 12

 

4:

5, 6, 8, 12, 20

 

5:

6, 10, 30

 

6:

7, 8, 9, 12, 18, 24, 42

 

7:

8, 14, 58

 

8:

9, 10, 12, 16, 24, 40, 72

 

9:

10, 12, 18, 36, 90

 

10:

11, 12, 14, 15, 20, 30, 35, 60, 110

 

 

Hmm... Jag ser inget mönster direkt... förutom att det verkar som om primtalen bara kan delas upp på två sätt. WASD, testa att köra med bara primtal, typ alla primtal upp till 100.